费马大定理

       田军

    1993年6月，一个震惊的消息传遍了整个数学界,全球数学家们欣喜地获悉、历时三百年的历史悬案一费马大定理，被普林斯顿大学的安德鲁·韦尔斯教授(Andrew Wiles)“攻克”。顿时无数邀请函雪花般地寄向韦尔斯，就连韦尔斯宣布其证明的地点剑桥大学牛顿研究所亦收到大量参观请求，大家善意地猜测着，93年度费尔茨奖(Fields Prize、青年数学家最高奖)非韦莫属。

    严格地说， 费马大定理(Fermat's LastTheorem)应称为“费马猜想”， 1631年(另一说是1637年)，费马在他的笔记本中写道、当n>2时，方程an十bn=cn 不存在正整数解(a,b，c,n)。有趣的是、 费马声称、 “我已经找到一个确实很奇妙的证明方法，可惜纸上篇幅不够、写不下这个证明。”费马大定理因其形式简洁、长期以来，对这个问题的证明一直吸引着数学家们和数学爱好者们的极大兴趣。

    皮埃尔·费马(Pierre de Fermat,1608-1665)是法国著名数学家、光学里的“折射定律”便是其成果之一。费马本职是律师，但他在数学界的声望远远超过了前者。他在数论、解析几何、光学等领域均作出了突出贡献。 “费马小定理”，另一个著名的数论猜想，其正确性早已给予证明，而“费马大定理”，费马所有猜想中最后悬而未决者，却经历了三个世纪，十几代数学家的不懈努力。
    当n＝2时、方程 a2十b2＝C2
存在无限多组正整数解。我国早在商代就己发现“勾三股四弦五”，即32十42＝52
费马大定理则断言，当n＞2时，不存在正整数解。解决费马大定理，要么证明其正确性，要么找出一纪正整数解，报翻该猜想。但这两方面的尝试都似“难于上青天”，于是数学家们决定从简单情形人手，如n＝3，4或5。运用初等数沦的技巧，n＝4时此猜想的正确性很快得到证明。而n=3的证明则是和欧拉的名字紧紧地连在一起。

    欧拉(Euler)，十八世纪最伟大的数学家，他的名字几乎出现在数学的每一个领域。他不仅发现了大量数学定理,独创了一系列数学方法、更重要地，欧拉一生著作颇丰，从代数、分析。到数学物理等等，为整个数学界留下一笔丰富财产。在1770年出版的《代数》中，他给出了费马大定理n=3的证明，欧拉通过研究立方数的整除性，证明了n=3猜想的正确性。十九世纪是数学研究最为辉煌的世纪，费马大定理的研究亦取得长足的进步。高斯使用当时发展起来的域论，给出了n=3的另一个证明。可惜的是，高斯对彻底解决这个问题的兴趣不大。 1816年，巴黎科学院(the Acaderniedes Sciences de Paris)对费马大定理悬赏三干法朗及一枚金质奖章。高斯在给巴黎科学院回信中写道，“非常感谢您的邀请。必须承认，我对这类单个问题的兴趣不大，因为我可以列出一大堆类似的单个问题。”作为有史以来最有才华的数学家，高斯的退出，一直令后人遗憾，亦多多少少推迟了问题的最后解决。

    1825年，另一位著名的德国数学家狄利克雷(Dirichlet)发表了n=5猜想的证明。不久，勒让德(Legendre)指出该证明中的一错误，并给出一个完整证明。 1839年，拉梅(Lame)证明了n＝7的情形。

    与此同时，库莫在割圆域的工作引起了大家的极大关注。库莫(Kummer,1810—1893)，德国人，出生贫寒、三岁丧父。在大学期间，他已显示出极高的数学天赋。库莫一生受高斯影响极大，他的主要研究方向皆承自高斯，尽管他们并没有直接合作过。 1842年。库莫选择费马大定理作为研究课题。经过二十多年努九他建立了割圆域理论，引进了“理想”等重要概念。基于这些工作，库莫证明了， 当n＜100，而且n不等于37、 59或67时，费马大定理成立，即方程不存在正整数解。不同于以前对单个n的讨论,库莫解决了一类n的讨论、取得了一个大突破。实际上，库莫的成果是，当n是正则素数时，费马大定理成立。 1851年库莫着手研究非正则素数，取得一些重要结果,但最终没能跨过这道门槛。

    循着库莫的思想，费马大定理的研究持续取得进展。 1908年，哥廷根设立沃夫斯凯奖(Wolfskehl Prize)，奖励首先解决该猜想的数学家，奖金十万马克(后因一战贬值)，并规定截止期为2007年。据传，希尔伯特(David Hilbert)私下曾说，他有能力解决费马大定理.与高斯的原因恰恰相反，他认为费马大定理是“一只会下金蛋的母鸡”，不忍心过早操刀。的确，费马大定理研究中建立的一系列新理论，产生的一系列新思想，引进的一系列新概念对古典数论、代数数论、近世代数、代数几何等等众多数学领域都提供了无穷无尽的推动力，为现代数学的丰姿多采作出了极大的贡献正如所说， “提出一个好问题胜于解决十个好问题”

    进入二十世纪以后，随着大量新的数学工具的发展，费马大定理的研究日新月异。 1976年,瓦格斯塔夫(Wagstaff)证明了当n<125000或n有一个小于125000的奇因子时，费马大定理成立。这个结果发表后，依然有不少数学家怀疑费马大定理的正确性，理由之一是费马大定理断言任意一个n(无限种可能)，而我们只证明了有限个n(n＜125000)。

    1983年、这种疑虑几乎一扫而光。在那年夏天、 年轻的德国数学家法尔廷格斯(Fdhngs，费尔茨奖获得者)解决了代数几何的一大难题一莫德尔猜想。这个成果附带地使费马大定理的证明取得了重要进展。法尔廷格斯证明了，当n＞2时，方程an十bn＝Cn。

    要么不存在正整数解，要么只有有限多组正整数解(a,b，c，n)。法尔廷格斯的结论解除了对n的任何限制，费马大定理的最终解决似乎已为时不远．

    几乎与法尔廷格斯同龄，安德鲁·韦尔斯生于1953年4月11日，英国剑桥。 21岁牛津大学本科毕业， 24岁剑桥大学博士学位。随后赴哈佛大学任教三年， 28岁受聘于普林斯顿高等研究所，一年后升任普林斯领教授，可谓一帆风顺。早在研究生时期，韦尔斯在导师考泰斯(Coates)指导下，开始椭圆曲线的研究。随后在哈佛、普林斯顿、他继续数论方面的工作。韦尔斯的最大贡献在于他解决了数论中一系列基础问题，如贝悉一司文勒登一戴尔猜想， Iwasawa大猜想等等。 1986年，他的注意力集中到又一个大目标， Taniyama猜想。韦尔斯一干就是七年。渐渐地，他从错综复杂中理出了一条路径。韦尔斯意识到，是时候了．

    于是， 1993年6月，韦尔斯决定在牛顿研究所宣布其结果，事先他不动声色将演讲题目定为“椭圆曲线，模形式，及伽罗华表示”。演讲共三部分，一些数学家从第一部分中敏感地嗅觉到种种迹象；第二部分结束后，更是传言四起，大家激动地猜测着，同时焦急地等待着最后一讲。第三无就坐的数学家陡增到六十多人，不少携带着照相机、摄像机，要永久地记下这个历史时刻。韦尔斯与前两天一样，极其平静地走上讲台．在前两讲的基础上，他运用椭圆曲线、模形式、形变的理论知识以及多种深奥新颖的方法，证明了Taniyama猜想．顿时全场轰动啦!因为大家知道，该猜想包含了费马大定理，韦尔斯攻克费马大定理的消息通过国际网络立刻传温了整个世界．

    紧接着，韦尔斯将证明整理成文，请几位数论专家审核。同年12月，他们指出了证明中的一个漏洞。 在泰勒(Richard Taylor)的帮助下， 1994年9月、韦尔斯成功地弥补了这个漏洞，最终彻底地解决了费马大定理。 1996年他荣获沃尔夫奖(Wolf Prize，世界数学家最高奖)。

    费马大定理的解决被公认为现代数学的重要里程碑。它显示了现代数学的抽象技巧在具体问题中的巨大威力。同时它将众多领域有机地结合在一起，为数学的发展提供了新的契机。

    [作者简介]田军，湖北人， 25岁， 1991年肄业于北京大学， 1996年获莱斯大学数学博士学位。有论文数十篇发表在数学及工程专业刊物上。